عمل دوتایی

Poll without page-refresh

Article on other languages:

	del.icio.us
	Digg
	Furl
	Reddit
	Rojo
	Add to OnlyWire

عمل دوتایی از مهم‌ترین و پرکاربرد ترین مفاهیم در جبر مجرد است.

فهرست مندرجات

۱ آشنایی
۲ عمل دوتایی
۳ مثال هایی از اعمال دوتایی
۴ بسته بودن نسبت به یک عمل
۵ ویژگی‌های اعمال دوتایی
۶ همچنین ببینید
۷ منابع

آشنایی

شاید تابه حال فرایندهای زیادی را دیده باشید که طی آن دو چیز با هم ترکیب می‌شوند و شی سوم متمایزی را حاصل می دهند.

مثلاً تصور کنید در یک کلاس درس معلم کلاس می‌گوید "ب"، "آ" و دانش آموزان باهم فریاد می‌زنند "با". این بار معلم می‌گوید "ب"، "و" و اینبار دانش‌آموزان فریاد می‌زنند "بو" و یا در مثالی دیگر در طبیعت ملکول‌های هیدروژن و اکسیژن با هم ترکیب شده و ماده سومی چون آب را پدید می‌آورد.

این ها همگی نمونه‌هایی از اعمالی دوتایی هستند که در طی آنها دو عنصر شرکت کننده عنصر سومی را پدید می‌آورند.

اعمال دوتایی و به دنبال آن ساختارهای جبری از مهم‌ترین و مقدماتی‌ترین مفاهیم در جبر مجرد هستند. در ادامه به تعریف دقیق یک عمل دوتایی در جبر می‌پردازیم و ویژگی‌های آنها را بررسی می‌کنیم.

عمل دوتایی

یک عمل دوتایی روی مجموعه ناتهی G تابعی است چون $*: G \times G \to G$ از G×G به توی G که به هر عضو (a,b) از G×G یک عضو یکتا چون C از G را نسبت می‌دهد.

لازم به یادآوری است که G×G حاصل ضرب دکارتی G در خودش است.

با توجه به تعریف یک عمل دوتایی، یک عمل دوتایی چون * روی یک مجموعه ناتهی G باید واجد شرایط زیرباشد:

عمل دوتایی روی کل دامنه خود یعنی G×G تعریف شده باشد.
عمل دوتایی * یک تابع خوش‌ تعریف از G×G به توی G باشد یعنی به هر عضو G×G عنصر یکتایی از G را نسبت می‌دهد.
حاصل ترکیب دو عضو (a,b) تحت یک عمل دوتایی باید متعلق به G باشد. به عبارت دیگر مجموعه G نسبت به عمل دوتایی خود بسته باشد.
عمل دوتایی را که سبب ترکیب هر دو عضو مجموعه ناتهی G می‌شود، معمولاً با * یا ° نمایش میدهیم.

برای نمایش اینکه، * یک عمل دوتایی تعریف شده در مجموعه ناتهی G باشد می‌نویسم (*,G) و برای هر (a,b) عضو G×G، حاصل عمل * روی زوج مرتب (a,b) را به صورت (a,b)* یا معمول‌تر به فرم a*b نشان می دهیم و معمولاً برای سهولت در نوشتن a*b را نیز به صورت ab می‌نویسیم.

همچنین معمولاً یک عمل دوتایی روی یک مجموعه‌ را با دو نماد جمعی + و ضربی . نشان می‌دهیم که نباید آنها را با جمع و ضرب اعداد خلط کرد.

اگر عمل دوتایی را به فرم جمعی نشان دهیم حاصل عمل + را روی (a,b) به صورت a+b نشان می‌دهیم و اگر عمل عمل را با نماد ضربی نشان دهیم حاصل عمل را به صورت a.b یا ab نشان می‌دهیم.

مثال هایی از اعمال دوتایی

مجموعه اعداد صحیح را در نظر بگیرید، عمل * را روی $\mathbb{Z}$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$\forall a,b \in \mathbb{Z} : a*b = a+b$

که همان عمل جمع اعداد صحیح است و به آسانی دیده می‌شود * یک عمل دوتایی است.

مجموعه اعداد طبیعی را در نظر بگیرید. * با ضابطه زیر ، یک عمل دوتایی است:

$\forall n,m \in \mathbb{N} : n*m= n^m$

اما عمل فوق در اعداد صحیح و اعداد گویا عمل دوتایی نمی‌باشد. زیرا به عنوان مثال

$(2)^{-1}=\frac{1}{2}\not \in \mathbb{Z}$

یا

$(2)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\not \in \mathbb{Q}$

ولی در مجموعه اعداد حقیقی عمل فوق ، یک عمل دوتایی است.

عمل * را در مجموعه دلخواه A به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$\forall a,b \in A : a*b = \left ( \frac{a+ b^2 }{a-b} \right )$

عمل * در مجموعه اعداد گویا یک عمل دوتایی نیست . چرا که به ازای a=b جواب a*b تعریف نشده می‌شود.

بسته بودن نسبت به یک عمل

مجموعه اعداد صحیح و عمل جمع اعداد را در نظر بگیرید. عمل جمع اعداد یک عمل دوتایی روی مجموعه اعداد صحیح است و بدیهی است که با توجه به تعریف عمل دوتایی روی $\mathbb{Z}$ برای هر دو عدد صحیح a و b عدد a+b نیز عددی صحیح است.

حال مجموعه اعداد صحیح زوج $\mathbb{Z}_E$ که زیرمجموعه‌ای از $\mathbb{Z}$ است را در نظر بگیرید. برای هر دو عضو این مجموعه چون m و n چون مجموع دو عدد زوج، عددی زوج است عدد m+n زوج است پس متعلق به مجموعه اعداد صحیح زوج است.

به عبارت برای هر $m,n\in \mathbb{Z}_E$ داریم $m+n\in Z$

در این حالت اصطلاحاً می‌گوییم مجموعه اعداد صحیح زوج تحت عمل جمع بسته است.

اما همواره برای هر زیرمجموعه Z چنین نیست. مثلاً مجموعه اعداد صحیح فرد $\mathbb{Z}_O$ را در نظر بگیرید. مجموع دو عدد صحیح فرد عددی زوج است که دیگر به مجموعه اعداد صحیح فرد تعلق ندارد پس برای هر $a,b\in \mathbb{Z}_O$ داریم $a+b\not \in \mathbb{Z}_O$ در این حالت می‌گوییم مجموعه اعداد صحیح فرد تحت عمل جمع بسته نمی‌باشد.

اگر G یک مجموعه ناتهی و * یک عمل دوتایی تعریف شده روی G باشد و E زیرمجموعه ای ناتهی از G باشد، می گوییم E تحت عمل G بسته است در صورتیکه به ازای هر a,b∈E داشته باشیم a*b∈E.

به عنوان مثال:

ویژگی‌های اعمال دوتایی

یک عمل دوتایی روی یک مجموعه می تواند دارای برخی ویژگی‌های خاص باشد.

شرکت پذیری

فرض کنید * یک عمل دوتایی روی مجموعه ناتهی G باشد. در این صورت می‌گوییم عمل * روی G شرکت پذیر است هرگاه برای هر a,b,c متعلق به مجموعه G داشته باشیم: a*(b*c)=(a*b)*c

به عنوان مثال:

در مجموعه اعداد صحیح عمل * را به صورت زیر بیان میکنیم:

$\forall a,b \in \mathbb{Z} : a*b= (a+b)-2$

$\mathbb{Z}$ تحت عمل * شرکت پذیر است.

روی مجموعه اعداد صحیح عمل * را به صورت زیر بیان میکنیم :

$\forall a,b \in \mathbb{Z} : a*b= a+b+ab$

عمل * روی $\mathbb{Z}$ خاصیت شرکت پذیری دارد.

عمل تفاضل در مجموعه اعداد حقیقی خاصیت شرکت پذیری ندارد.

نیم‌گروه

مجموعه (*,G) یک نیم‌گروه است هر گاه عمل * روی G شرکت پذیر باشد. به عنوان مثال مجموعه اعداد طبیعی به همراه عمل جمع یک نیم گروه است ولی مجوعه اعداد صحیح به همراه عمل تفاضل یک نیم گروه نمی باشد.

هرگاه $\mathcal{F}$ مجموعه توابع پیوسته به روی اعداد حقیقی باشد ، آنگاه $\mathcal{F}$ تحت عمل جمع توابع ، یک نیم‌گروه است.
مجموعه توابع تعریف شده روی اعداد حقیقی تحت عمل ترکیب توابع ، یک نیم‌گروه است.

جابجایی

فرض کنید G مجموعه‌ای ناتهی و * یک عمل دوتایی روی G باشد. در این صورت عمل * را روی G جابجایی می‌گوییم هر‌گاه برای هر دو عضو a و b متعلق به مجموعه G داشته باشیم a*b=b*a.

به عنوان مثال عمل جمع اعداد روی اعداد طبیعی عملی جابجایی است و عمل تفریق روی مجموعه اعداد حقیقی دارای خاصیت جاجایی نمی‌باشد.

عضو خنثی

فرض کنید G مجموعه‌ای ناتهی و * یک عمل دوتایی تعریف در G باشد. در این صورت عضو e متعلق مجموعه G را عضو خنثی یا همانی G نسبت به عمل * می‌گوییم هرگاه برای هر a متعلق به مجموعه G داشته باشیم: e*a=a*e=a

اگر e عضو G چنان باشد که برای هر a عضو G داشته باشیم a*e=a آنگاه e را عضو خنثی راست می‌گوییم و اگر برای هر a متعلق به G داشته باشیم e*a=aآنگاه e را عضو خنثی چپ می‌گوییم.

به عناون مثال در مجموعه اعداد صحیح به همراه عمل جمع عدد صحیح صفر عضو خنثی عمل جمع است و عضو خنثی ضرب در مجموعه ماتریس‌های مربعی از مرتبه n ماتریس همانی است.

حال ممکن است این سوال پیش بیاید که آیا یک مجموعه نسبت به یک عمل دوتایی می‌تواند دارای دو عضو خنثی باشد؟ قضیه زیر بیان می کند عضو خنثی یک ساختمان جبری در صورت وجود یکتاست.

قضیه: عضو خنثی یک ساختمان جبری در صورت وجود منحصر بفرد است.
برهان: فرض کنید (*,G) یک ساختمان جبری با دو عضو خنثی e₁ و e₂ باشد. نشان میدهیم e₁=e₂

چون e₂∈G و e₁ عضو خنثی G نسبت به عمل * است داریم

e 1 * e 2 = e 2

و چون e₁∈G و e₂ عضو خنثی G است داریم:

e 1 * e 2 = e 1

که دو تساوی اخیر نشان می دهد e₁=e₂ و حکم ثابت می شود.

عضو معکوس

فرض کنید G یک مجموعه ناتهی و * یک عمل دوتایی روی G باشد و e عضو خنثی G نسبت به عمل * باشد. در این صورت عضو a متعلق به G را نسبت به عمل * وارون پذیر (معکوس پذیر) می‌نامیم هرگاه عضوی چون b موجود باشد که a*b=b*a=e.

همچنین اگر b چنان موجود باشد که a*b=e گوییم b معکوس راست a است و اگر bچنان باشد که b*a=e آنگاه b را معکوس چپ a مِی‌نامیم.

همچنین ببینید

منابع

دی.اس.مالک-جال.ان.مردسون-ام.ک.سن. اساس جبر مجرد. ترجمهٔ دکتر محمد رضا رجب زاده مقدم-سید محمد داورپناه. مشهد: دانشگاه امام رضا(ع)، 1380، ISBN 964-6582-29-x. ‏

دان ساراسینو. جبر مجرد. ترجمهٔ محمد رضا فلکی. مشهد: نشر اقلیدس، 1381، ISBN 964-91210-9-9. ‏

اسرائیل ناتان هراشتاین. جبر مجرد. ترجمهٔ دکتر علی اکبر عالم زاده. تهران: موسسه انتشارات علمی دانشگاه صنعتی شریف، 1381، ISBN 964-6379-02-8. ‏

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Binary operation»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد. (بازیابی در 24 آگوست 2007).

برگرفته از «http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D9%85%D9%84_%D8%AF%D9%88%D8%AA%D8%A7%DB%8C%DB%8C»

رده‌های صفحه: جبر

This article is from Wikipedia. All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License.

Giant Panda

Mercedes Car

This site monitored by SitePinger.net