مسئله مقادیر خاص

Poll without page-refresh

Article on other languages:

	del.icio.us
	Digg
	Furl
	Reddit
	Rojo
	Add to OnlyWire

مسئلهٔ ویژه‌مقدارها (Eigenvalue problem) (یا مسئلهٔ مقادیر ذاتی) مربوط به ماتریس‌ها و عمل‌گرها از جملهٔ اساسی‌ترین و ذاتی‌ترین، و به همین جهت، پر‌کار‌بردترین مباحث و ابزار در بسیاری از زمینه‌ها و میدان‌های علوم و فنون قدیم و جدید می‌باشد.

فهرست مندرجات

۱ فضاهای با بعد متناهی
۲ نکات و اشارات
۳ فضاهای بی‌نهایت بعدی
- ۳.۱ عمل‌گر مشتق‌گیری
۴ جستارهای وابسته
۵ منابع
۶ پیوندهای بیرونی

فضاهای با بعد متناهی

مسئله اول در مورد فضاهای با بعد متناهی است. ماتریس مربعی $A \!$ را در نظر می‌گیریم. بردار غیر صفر $x \!$ را بردار خاص $A \!$ ، و اسکالر $\lambda \!$ را مقدار خاص نظیر آن بردار می‌گوییم، چنانچه معادلهٔ ماتریسی زیر اقناع شود:

$A x = \lambda x\!$

در معادلهٔ ماتریسی حاضر دو مجهول وجود دارد: بردار خاص $x \!$ ، و مقدار خاص $\lambda \!$ . پس انتظار دریافت حلی قطعی و یگانه برای آن وجود ندارد.

مثال:

ماتریس زیر را در نظر می‌گیریم:

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix}$

معادله ماتریسی بالا خواهد شد:

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{bmatrix}$

جهت شروع به حل، همه چیز را در سمت چپ جمع‌کرده، و بردار مجهول و مشترک $\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{bmatrix}$ را در فاکتور قرار می‌دهیم:

$\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{pmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{bmatrix} = 0$

در اینجا، به درج ماتریس واحد (یکه) دو‌بعدی به‌خاطر حفظ طبیعت ماتریسی جمله‌ها نیاز داشته‌ایم. پس از ضرب $λ$ در ماتریس واحد، و تفریق دو ماتریس داریم:

$\begin{bmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 2 & 1 - \lambda \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{bmatrix} = 0$

معادله ماتریسی حاصل حالتی ویژه دارد. به منظور مقایسه، و جهت آشکارایی ادامهٔ حل آن، معادله اسکالر خیلی سادهٔ زیر را در نظر می‌گیریم:

$a y = 0 \!$

که در اینجا $a \!$ عددی ثابت است. متغیر مجهول $y \!$ ، تنها و تنها، زمانی جواب غیر از صفر اختیار می‌کند، که داشته باشیم:

$a = 0 \!$

که در این صورت، هر عددی جواب این معادله است.

برای معادلهٔ ماتریسی هم درست همین حالات را داریم. یعنی، برای وجود جواب‌های غیر صفر به بردار ویژهٔ $x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{bmatrix}$ لازم است، که دترمینان ماتریس ضرایب صفر شود، و اقناع همین شرط است، که به شکل‌یابی معادلهٔ مشخصهٔ ماتریس $A \!$ می‌انجامد. پس، داریم:

$\det\begin{bmatrix} 1-\lambda & 2\\2 & 1-\lambda \end{bmatrix} = (1 - \lambda)^2 - 4 = 0.$

با حل این معادلهٔ چند‌جمله‌ای درجهٔ دوم دو جواب زیر را برای دو مقدار ویژهٔ ماتریس دو در دوی مفروض به‌دست می‌آوریم:

$\lambda_1 = 3, \lambda_2 = -1 \!$

نکات و اشارات

نکات زیر در اینجا شایان دقت و توجه می‌باشد:

تجزیه مقادیر خاص را می شود تکنیک بسیار مؤثر و قوی در تبدیل پیچیدگی به سادگی دانست. با نگاهی دقیق به این معادله می شود رمز این توانائی را تا حدودی دید:

ضرب ماتریس $A \!$ در بردار $x \!$ در سمت چپ (عملی سنگین) به ضرب تنها و تنها یک اسکالر ساده در همان بردار (عملی سبک و سریع) در سمت راست تقلیل یافته است.

فضاهای بی‌نهایت بعدی

توابع پیوستهٔ ریاضی را می‌توان بردارهایی با تعداد بی‌نهایت مؤلفه در نظر گرفت، که در فضایی بی‌نهایت بعدی جای گرفته باشد. عمل‌گرهای قابل اعمال بر این‌گونه بردارها هم بی‌نهایت بعدی بوده، و مسئله مقادیر خاص آن‌ها، در عین حفظ همان صورت قبلی، نقشی باز‌هم کارسازتر و پراهمیت تر به‌خود می‌گیرد.

عمل‌گر مشتق‌گیری

به عنوان یک مثال ساده، ولی، فوق‌العاده حیاتی و پرکاربرد، عمل‌گر مشتق‌گیری از توابع مشتق‌پذیر ریاضی را در نظر می‌گیریم:

$\frac{d}{dx} f(x) = g(x) \!$

در این جا عمل‌گر $\frac{d}{dx} \!$ بر روی تابع مشتق‌پذیر $f(x) \!$ عمل نموده و تابع $g(x) \!$ را نتیجه داده است.

مسئلهٔ مقادیر خاص (ذاتی) مرتبط با آن به همان صورت حالت ماتریسی بیان می‌شود:

$\frac{d}{dx} f(x) = \lambda f(x) \!$

در این مورد، به سبب بی‌نهایت بعدی بودن فضا، به جای بردارهای خاص، توابع خاص داریم. در واقع، مسئله در جستجوی توابعی ست که مشتق مرتبه اول آن ها مضربی از خودشان است. با اندکی توجه، در می‌یابیم که عمومی‌ترین پاسخ در این‌جا عبارت است از:

$f(x) = e^{i \omega x}, \lambda = {i\omega} \!$